Знакопеременный ряд. Признак Лейбница

Оставьте комментарий 6,950

Числовой ряд

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

Общий член ряда стремится к нулю:.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда.

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой.

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда.

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

Взяв пять членов, т.е. заменивна

Сделаем ошибку, меньшую,

чем. Итак,.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Упражнения

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

Используя признак Лейбница, получим

т.е. ряд сходится.

Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Используя признак Лейбница, имеем

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как. Следовательно, данный ряд сходится условно.

знакопеременный ряд сходимость слагаемое

Ряд называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные , так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды – частный случай знакопеременного ряда.

Теорема 1.

Если знакопеременный ряд (1)

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(2)

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Данная теорема позволяет судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование в данном случае сводится к исследованию ряда с положительными членами.

Данная теоремаявляется достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Определение:

Знакопеременный ряд (1)

называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: (2)

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный знакопеременный ряд(1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Теорема 2:

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Теорема 3:

Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А , можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.

Пример:

Исследовать числовой ряд

Решение:

Исследуем данный числовой знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость, для чего составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда:

Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом . Так как , то ряд сходится.

Следовательно, оба ряда вместе сходятся.

Так как числовой ряд из абсолютных величин членов нашего знакочередующегося ряда сходится, то знакочередующийся числовой ряд сходится абсолютно.

Ответ: Ряд сходится абсолютно.

Пример .

Исследовать числовой ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

Знакочередующийся числовой ряд.

Воспользуемся признаком Лейбница:

То есть члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.

Составим ряд из модулей членов нашего знакочередующегося ряда:

Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом .

Следовательно, оба ряда вместе расходятся.

Таким образом, сам знакочередующийся ряд сходится, а ряд из его модулей расходится. Следовательно, наш знакочередующийся числовой ряд сходится условно.

Ответ: Ряд сходится условно.

До сих пор мы изучали только ряды, все члены которых были положительными . Теперь мы перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.

В качестве примера знакопеременного ряда приведем ряд

Изучение знакопеременных рядов мы начнем с частного случая, так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный.

Обозначая через - абсолютные величины членов ряда и считая, что первый член положителен, знакочередующийся ряд запишем следующим образом:

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (34) абсолютные величины членов убывают:

и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

Сгруппируем члены попарно:

Так как по условию абсолютные величины членов ряда убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма положительна и возрастает при увеличении .

Запишем теперь группируя члены иным образом:

Сумма в квадратных скобках будет также положительной. Поэтому для любого значения . Таким образом, последовательность четных частичных сумм возрастает с увеличением , оставаясь при этом ограниченной. Следовательно, имеет предел

При этом, так как то ясно, что Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:

При имеем

так как по условию и, следовательно, .

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т. е. ряд сходится. При этом, как видно из доказательства, сумма ряда S не превосходит первого члена ряда.

Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд

Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:

Следовательно, ряд сходится.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая знакопеременного ряда. Будем предполагать, что в ряде

числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для таких рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Теорема. Если для знакопеременного ряда

сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

то данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (37) и (38):

Таким образом, члены ряда (39) либо равны членам сходящегося ряда (38), либо меньше их. Поэтому ряд (39) сходится на основании признака сравнения (см. п. 5, теорему 1 и сноску на стр. 501).

Умножив все члены сходящегося ряда (38) на получим сходящийся ряд

(см. п. 3, теорема 1). Рассмотрим теперь ряд, являющийся разностью сходящихся рядов (39) и (40)

Этот ряд сходится на основании теоремы 2 п. 3.

Но ряд (37) получается из последнего ряда умножением всех его членов на 2:

Следовательно, ряд (37) также сходится (п. 3, теорема 1).

Пример 2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд (33)

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

Этот ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем . Следовательно, на основании доказанного признака сходится и данный ряд (33).

Этот признак является достаточным, но не необходимым. Это значит, что существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Действительно рассмотрим ряд

который, очевидно, сходится по признаку Лейбница. Между тем, ряд

составленный из абсолютных величин членов данного ряда является гармоническим и, следовательно, расходится.

Хотя рассмотренные выше ряды (33) и (42) оба сходятся, однако характер их сходимости различен.

Ряд (33) сходится одновременно с рядом (41), составленным из абсолютных величин его членов, тогда как ряд (43), составленный из абсолютных величин сходящегося ряда (42), расходится.

В связи с этим введем следующие определения.

Определение. Знакопеременный ряд абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд будет сходящимся.

Определение. Знакопеременный ряд называется неабсолютно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов их расходится.

Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можем сказать, что ряд (33) является абсолютно сходящимся, а ряд ( - неабсолютно сходящимся.

Знакопеременные ряды

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на – 1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u 1 -u 2 +u 3 -u 4 +…+ +(- 1) n - 1. u n + …, где u n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема 9. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство . Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S 2 n =(u 1 -u 2)+(u 3 -u 4)+…+(u 2 n -1 -u 2 n).

По условию u 1 >u 2 >…>u 2 n -1 >u 2 n , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S 2 n возрастает с возрастанием n и S 2 n >0 при любом n .

С другой стороны S 2 n =u 1 -[(u 2 -u 3)+(u 4 -u 5)+…+(u 2 n -2 -u 2 n -1)+u 2 n ]. Выражение в квадратных скобках положительно и S 2 n >0, поэтому S 2 n <u 1 для любого n . Таким образом, последовательность частичных сумм S 2 n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S 2 n =S . При этом 0<S ≤u 1 .

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S 2 n +1 =S 2 n +u 2 n +1 . Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞ : S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 =S+ 0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S , поэтому S n =S , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Лейбница.

u n = >u n +1 =

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие u n >u n + 1 выполняется, начиная с некоторого номера N .

2. Условие u n >u n +1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие u n >u n +1 не выполняется.

Определение 8 . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Определение 9 . Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример .

Установить характер сходимости ряда

Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и u n =

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.

Определение

Ряд называется знакопеременным , если он содержит как положительные, так и отрицательные члены.

Пример 16. Ряды

,
,

являются знакопеременными.

Знакочередующиеся ряды, очевидно, являются частным случаем знакопеременных рядов.

Для знакопеременного ряда возникает вопрос о связи его сходимости со сходимостью знакоположительного ряда .

ТЕОРЕМА 9 (Признак абсолютной сходимости)

Если сходится ряд , то сходится и ряд .

Доказательство. Из сходимости ряда по свойству 3 сходящихся рядов следует сходимость ряда
. Действительно, поскольку
, где
, то по первому признаку сравнения сходится и ряд
.

Отсюда следует, что ряд
также сходится, так как является алгебраической суммой двух сходящихся рядов.

В доказанной теореме сформулирован достаточный признак сходимости ряда . Обратное утверждение в общем случае неверно.

Определения

Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся.

Если же ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся .

Пример 17.
.

Общий член этого ряда
. Так как
, то ряд
расходится, ибо он является рядом Дирихле, в котором
. Ряд
согласно признаку Лейбница сходится. Следовательно, исследуемый ряд сходится условно.

Пример 18. Исследовать на сходимость ряд
.

Этот ряд сходится абсолютно, так как ряд
– сходящийся ряд Дирихле.

При исследовании знакочередующихся рядов на сходимость можно рассуждать по следующей схеме:

Ранее отмечалось, что в знакоположительных рядах можно произвольным образом переставлять и группировать члены. В знакопеременных рядах, если они абсолютно сходятся, это свойство сохраняется. Для условно сходящихся рядов дело обстоит иначе. Здесь группировка, перестановка членов ряда может нарушить сходимость ряда. Например, если из знакочередующегося условно сходящегося ряда выделить положительные члены, то полученный ряд может расходиться. Следует иметь в виду это обстоятельство и с условно сходящимися рядами обращаться с большой осторожностью. Для условно сходящихся рядов справедлива следующая теорема Римана.

ТЕОРЕМА 10

Изменяя порядок членов в условно сходящемся ряде, можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу и даже сделать ряд расходящимся.

К примеру, если в ряде
провести перестановку членов, то ряд можно представить в виде

Итак, сумма рассматриваемого ряда уменьшилась вдвое. Это происходит потому, что при условной сходимости осуществляется взаимное погашение положительных и отрицательных членов и, следовательно, сумма ряда зависит от порядка расположения членов, а при абсолютной сходимости ряда этого не происходило.

Пример 19. Исследовать на сходимость ряд
.

Данный ряд знакочередующийся. Исследуем ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд
. Используя признак Коши, получаем

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости

Пусть
,
,...,
,... – последовательность функций, определенных на некотором множестве
.

Определение

Ряд вида

, (14)

членами которого являются функции, называется функциональным .

Придавая в (14) различные числовые значения из множества
, будем получать различные числовые ряды. В частности, при
из (14) получим числовой ряд
. Этот числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если он сходится, тоназываетсяточкой сходимости функционального ряда (14) .

Множество всех точек сходимости функционального ряда называют его областью сходимости и обозначают ее через
. Очевидно,
. В частных случаях множество
может совпадать или не совпадать с множеством
или же может быть и пустым множеством. В последнем случае функциональный ряд расходится в каждой точке множества
.

Вид области
для произвольного функционального ряда может быть различным: вся числовая ось, интервал, объединение интервалов и полуинтервалов и т.д. В простейших случаях при исследовании функциональных рядов на сходимость можно применить рассмотренные выше признаки сходимости числовых рядов, если подx понимать фиксированное число.

Определения

Сумма первых членов функционального ряда